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庞加莱将几何体剖分为单纯形,他们将复杂网络剖分为全齐性子网络

Science China Press

人们常用由节点和连线交织组成的网络来研究复杂系统。网络中,节点表示系统中的单元,连线表示单元之间的相互作用。节点度(即节点的连线数)的异质性可以产生以大度节点为核心的星结构。我们可以从这些星结构出发,来研究网络的性质。

然而,随着互联网技术发展及网络科学研究的深入,我们发现基于星结构的传统认知模式已经不足以描述各种现实网络中涌现出的科学问题。例如,在线网络中基于圈的传播模式广泛存在。如果将网络的认知视角从节点度转移到网络圈,就会发现普遍存在同质性的全齐性子网络。在这里,我们将全齐性网络定义为各个节点度相等、周长(节点最小圈的连线数)相等、路和(其它节点到该节点最短路长之和)相等的一类网络,典型例子见图1。

庞加莱早就发现边界是区分几何体的关键。他将几何体剖分成名为“单纯形”的基本组成部分(点、线、三角形、四面体……),从而引入同调群、贝蒂数,并推导出欧拉-庞加莱公式,即单纯形的交错和等于贝蒂数的交错和。

受此启发,我们对网络的结构进行类似的“剖分”,将庞加莱的数学理念应用于网络科学研究。这是因为网络中存在大量连线、三角形、四面体等全齐性结构(图论称之为团,拓扑学称之为单纯形)。基于这些骨干单元,我们可以用一系列二元域上的向量空间来描述网络。例如,以连线为基的向量空间C1,空间维是连线数目;以三角形为基的向量空间C2,空间维数是三角形数目,等等。由于三角形的边是连线,C2和C1之间可通过边界算子D2: C2 ->C1来建立关联,并用边界矩阵来表示和进行研究。边界矩阵比邻接矩阵具有更丰富的数学含义和更多的可用工具。例如,通过边界矩阵的秩可计算网络重要不变量之一的贝蒂数,即网络无关洞的数目,从而确定网络的同调群。相关概念见图2。

我们的探索源于物理的网络同步准则(汪小帆和陈关荣,2002年),经由优化导出了全齐性网络(史定华、陈关荣、阎小勇等,2013年),其重要性得到大脑网络的实证检验(Bassett等,2018年),最终归结为代数拓扑的不变量指标。这一系列的成果体现了物理、生物、数学等多学科交叉融合的意义和价值。

考虑到基于代数拓扑的网络结构分析这一有意义的研究方向,近日我们以“Totally homogenous networks”为题在《国家科学评论》发表了相关研究结果。

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原文信息:

Dinghua Shi, Linyuan Lü and Guanrong Chen,
Totally homogeneous networks
Natl Sci Rev (April 2019) doi: 10.1093/nsr/nwz050
https://doi.org/10.1093/nsr/nwz050

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